El molusco matemático

  En nuestros océanos vive un molusco de aspecto prehistórico, que de hecho conserva su forma exactamente igual a la que tenía hace millones de años. Es el nautilus, y es un auténtico fósil viviente. Se le puede encontrar entorno a los 20 metros de profundidad de noche, buscando algo que llevarse a su boca con 90 tentáculos, en los arrecifes de coral del sur de Pacífico.
 
  Sin embargo, después de que describiera René Descartes la espiral logarítmica o equiangular, este inocente molusco ha cobrado mucho mayor interés, pues si hacemos un corte sagital (una sección, cortar por la mitad) de su concha, veremos que su forma espiralada se parece inusitadamente a la de la espiral logarítimica; es, de hecho, exactamente igual. Y es que además de patas, parece que este molusco tiene más cosas en la cabeza: ¡matemáticas! ¿Se conoce acaso el nautilus la fórmula de los logaritmos?

  Y no sólo el nautilus: la conchas de los caracoles, en las borrascas y en las galaxias, en las piñas y en el brocoli, entre otros muchos ejemplos. ¿También ellos saben de matemáticas? La sucesión de Fibonacci es un tipo especial de progresión que parece describir el árbol genealógico de los zánganos de abeja. Y no veo como las abejas pudieron conocer a Fibonacci.

  Una peculiaridad de las espirales logarítmicas es la autosemejanza; cada porción de la espiral es exactamente igual a cualguier otra con distintas proporciones, lo cual nos lleva a los fractales.

  Los diminutos cristales de nieve, la terminación de las arterias, de las ramas de un árbol, las nubes, los minerales cristalizados, el paisaje... Todos ellos son descritos muy bien por la geometría fractal; se repiten formas iguales a tamaños distintos, siempre con una cierta variabilidad, pero con una exactitud sorprendente.

Las frondes del helecho, que le dan nombre a la
dirección de este blog, presentan una
forma en fractales

  De hecho, un programa que es muy usado en el diseño de videojuegos y recreaciones virtuales, se basa en la geometría fractal para elaborar los árboles y la superficie de las montañas y el resultado es sorprendentemente parecido.

  Cuando el precursor del expresionismo abstracto Jackson Pollock pintó sus cuadros con técnicas de goteo y de salpicar enérgicamente con sus botes de pintura, no previó el resultado que iban a tener sus obras. Una vez más, la geometría lo describía certeramente: los cuadros de Pollock presentaban una composición en fractales.

  Y ya que hablamos de concepciones de la belleza, en la Antigua Grecia se consideraban dos proporciones ideales para las columnas: las de capitel dórico, con proporciones masculinas, de una altura de 6 veces la base, y las de capitel jónico, con una altura de 8 veces la base. La Catedral de Chartres, del siglo XIII, parece contener en las proporciones de su arquitectura métricas ideales basadas en la proporción áurea y en consonancia con los intervalos de las notas musicales.

Interior de la Catedral de Chartres

  Se creía que dichas proporciones ideales provenían de Dios, y así las reflejaron en el diseño del edificio. Por otra parte, de todas las combinaciones de frecuencia en los sonidos, sólo algunos pueden ser considerados como música para nosotros; los demás serían ruido. Esto sería lo que diferencia una bocina o una alarma del canto de un pájaro o de una nota cualquiera de guitarra. ¡Y la posición en la escala de frecuencia de dichos sonidos agradables también se corresponde con relaciones proporcionales!

  Pero, ¿qué son estas constantes formales con las que nos encontramos una y otra vez y que son hacia las que la naturaleza tiende? ¿porqué está el número pi en todas partes? ¿Nos los ha dado Dios? ¿Son éstas la Ideas superiores y eternas de Platón? ¿O la naturaleza es caótica por mucho que tratemos de encontrarles sentido con nuestras facultades del entendimiento? ¿qué hace bellas esas proporciones consideradas bellas? Tal vez un día que vayamos alegremente por el monte descubramos un árbol que no hay forma de describir desde la geometría que tenemos desarrollada hasta ahora, o que nos parezca más bello que cualquier otra forma hasta ahora conocida.

  Una posible respuesta nos la da Hans Haacke, artista conceptual alemán muy controvertido por algunas obras pero muy filosófico por otras (¡búsquese en internet!), y a nosotros nos interesa esa última faceta: en su cubo de condensación quiere mostrarnos como nuestra racionalidad impone orden a la caótica naturaleza.

  Consiste en un cubo transparente en cuyo interior se condensan gotas de agua que van resbalando. La condensación del agua depende de la temperatura en donde se encuentre, esto es, el lugar de exposición. Con esto, el autor nos deja de relieve que 1)la obra y la interpretación que suscite estará condicionada por su lugar de exposición (la ubicación en la sala, las condiciones ambientales... etc.), 2) al no ser una obra estática sino un sistema cambiante, el espectador nunca podrá verla dos veces en idéntico estado, y nunca la conocerá del todo; y 3), aunque pretendamos darle nuestro orden al mundo (orden simbolizado por la forma cúbica), éste siempre será caótico y no como nosotros creemos verlo.

Círculos incompletos de Long, en el
CaixaForum de Madrid

  Así, una percepción ordenada y racional que nosotros tengamos siempre será sólo eso, percepción. La realidad seguirá estando detrás. Y entonces las matemáticas serían un orden racional para que podamos comprender la naturaleza, una forma de abreviar tanto caos. Tal vez los fundamentos de las matemáticas estén no en la naturaleza, sino en las características de la percepción y el entendimiento. Esto nos lo muestra muy bien Richard Long en sus círculos incompletos; automáticamente tratamos de completarlos y darles una forma con sentido: el círculo.

  Supongamos entonces que el nautilus no sabe de matemáticas; sólo sigue alegremente con su vida submarina y nosotros los humanos, pensadores obsesionados, vemos como se repite en él formas que la misma naturaleza nos ha enseñado.